Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e precisamos encontrar a curvatura dessa curva usando a Fórmula 9. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de curvatura de uma curva no espaço. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função vetorial, calcular a segunda derivada, fazer o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A primeira derivada representa a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial . A segunda derivada representa a aceleração da curva.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado pelos dois vetores e é essencial para calcular a curvatura.
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo (ou norma) do produto vetorial que encontramos:
Podemos fatorar:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo da primeira derivada :

Passo 7

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura :

Resposta

A curvatura da curva é

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Determine os vetores tangente e normal unitários e .
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