Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da trajetória dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura que envolve derivadas da função vetorial. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de , além de fazer operações com vetores, como produto vetorial e normas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é . A derivada de cada componente da função vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é . Derivando novamente cada componente de :

Passo 4

A fórmula da curvatura é dada por:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Perceba que .
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Vamos agora calcular a norma de :
Então, .

Resposta

A curvatura da trajetória é:

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Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.