Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r(t) = (1+t) i + (1-t) j + 3 t^2 k

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A parada é usar o Teorema 10 para encontrar a curvatura de uma curva no espaço. A função vetorial dada é . Vamos precisar lembrar como calcular a curvatura de uma curva definid a por um vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é curvatura. A curvatura, denotada por kappa, mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto específico. Para curvas no espaço, a fórmula da curvatura é:
Aqui, é a primeira derivada da função vetorial, que nos dá a velocidade, e é a segunda derivada, que nos dá a aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função vetorial r(t):

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de :

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que , então a última parte é zero. Calculando os outros termos:
Ou seja,

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:

Passo 7

Também precisamos da magnitude da primeira derivada ao cubo:
Então,

Resposta

A curvatura da curva é:

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