Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A parada é usar o Teorema 10 para encontrar a curvatura de uma curva no espaço. A função vetorial dada é
. Vamos precisar lembrar como calcular a curvatura de uma curva definid a por um vetor posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é curvatura. A curvatura, denotada por
, mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto específico. Para curvas no espaço, a fórmula da curvatura é:
Aqui,
é a primeira derivada da função vetorial, que nos dá a velocidade, e
é a segunda derivada, que nos dá a aceleração.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada da função vetorial
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de
:
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial
:
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que
, então a última parte é zero. Calculando os outros termos:
Ou seja,
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:
Passo 7
Também precisamos da magnitude da primeira derivada ao cubo:
Então,
Resposta
A curvatura da curva é:
Exercícios relacionados
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Calcular as integrais definidas abaixo
17.
17.