Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a curvatura da curva dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar o Teorema 10, que nos dá a fórmula para calcular a curvatura de uma curva parametrizada. Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas da função vetorial, além de usar produto vetorial e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Essa derivada nos dá o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que é . Essa derivada nos dá a aceleração da curva.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial entre e , ou seja, . O produto vetorial nos ajuda a determinar a área do paralelogramo formado pelos dois vetores, o que é essencial para a curvatura.

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de , que é . A norma de um vetor nos dá o comprimento desse vetor.

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a norma do produto vetorial que encontramos no Passo 4, ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva é:

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17.
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