Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi2 cos (x) sen(sen(x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com integração, especificamente usando a técnica de substituição de variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de u = sen(x) em relação a du = cos(x) , dx para substituir cos(x) , dx = du :
Isso significa que:

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral original fica mais simples. Vamos trocar tudo em termos de integral0^pi2 cos(x) sen(sen(x)) , dx = integralu(0)^u(pi2) sen(u) , du :
Agora, precisamos atualizar os limites de integração de acordo com a nova variável u = sen(0) = 0 :
  • Quando u = sen(pi2) = 1 :
  • Quando integral0^1 sen(u) , du :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral sen(u) , du = -cos(u) + C . A integral de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 5

Finalmente, vamos aplicar os limites de integração na função integrada:
-cos(u) |0^1 = -cos(1) - (-cos(0)) = -cos(1) + cos(0)
Sabemos que -cos(1) + 1 = 1 - cos(1) , então:

Resposta

O valor da integral definida é:
1 - cos(1)

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