Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com integração, especificamente usando a técnica de substituição de variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :
Isso significa que:

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral original fica mais simples. Vamos trocar tudo em termos de :
Agora, precisamos atualizar os limites de integração de acordo com a nova variável :
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 5

Finalmente, vamos aplicar os limites de integração na função integrada:
Sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral definida é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo: