Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(q)
.
(q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar o GeoGebra pra desenhar o gráfico da curva definida pela equação polar
. Essa curva é um tipo de limaçon, e especificamente uma cardioide. Então, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como essas curvas funcionam pra conseguir desenhar corretamente no GeoGebra.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar o que é uma coordenação polar. Diferente das coordenadas cartesianas (onde usamos
e
), na polar usamos o raio
e o ângulo
(ou
). A equação
nos diz como o raio muda conforme o ângulo varia.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um limaçon. É um tipo de curva que pode ter uma dente (quando tem formato de cardioide) ou um dente extra. No nosso caso, como o coeficiente de
é maior que o de
, a curva será uma cardioide. A equação geral de um limaçon é
ou
. No nosso exercício,
e
, o que confirma que é uma cardioide.
Passo 4
Vamos abrir o GeoGebra e selecionar a opção para gr��ficos em coordenadas polares. No GeoGebra, você pode inserir a equação diretamente na barra de entrada. Então, vamos digitar:
Passo 5
Depois de inserir a equação, o GeoGebra vai automaticamente desenhar o gráfico. Como a gente já sabe que é uma cardioide, vamos verificar se o desenho corresponde a isso: uma curva com formato de coração, sem dente extra. Se tudo estiver correto, o gráfico vai ter esse formato característico.
Passo 6
Além de desenhar, podemos explorar algumas propriedades da cardioide, como o ponto onde
, que nos dá
. Isso significa que, nesse ponto, o raio é negativo, o que no gráfico em polar, faz com que o ponto seja refletido no lado oposto do ângulo considerado.
Resposta
Pronto! Usando o GeoGebra, desenhamos a curva
, que é uma cardioide, um tipo de limaçon com uma única dente. O gráfico apresenta o formato característico de um coração, confirmando que a equação representa uma cardioide.
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Se
e
são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto
, então
é inversível?
?
Determine o domínio da função
.
Calcule