Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de R^2. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do R^2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S-(x, y) mid x>0

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Pra isso, vamos usar os conceitos de subespaço, que envolvem operação de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa atender a três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar qualquer dois vetores no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. O vetor é tal que , que não é maior que zero. Então, está incluso em . Ok, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: Fechamento sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer no conjunto . Por exemplo, e . A soma deles é . Como , o vetor resultante também está no conjunto. Parece que está funcionando até aqui.

Passo 5

Porém, precisamos garantir que isso valha para todos os vetores no conjunto. Imagine agora que temos e . A soma é , que ainda está no conjunto porque . Até agora, a adição mantém o vetor no conjunto. Mas precisamos continuar para ter certeza.

Passo 6

Vamos verificar a última condição: Fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor no conjunto, por exemplo, , e multiplique por . O resultado é . Agora, olha só: , então esse vetor não está mais no conjunto . Isso quebra a condição de fechamentos sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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