Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Então, a gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Pra isso, vamos usar os conceitos de subespaço, que envolvem operação de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa atender a três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar qualquer dois vetores no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. O vetor
é tal que
, que não é maior que zero. Então,
está incluso em
. Ok, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: Fechamento sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer no conjunto
. Por exemplo,
e
. A soma deles é
. Como
, o vetor resultante também está no conjunto. Parece que está funcionando até aqui.
Passo 5
Porém, precisamos garantir que isso valha para todos os vetores no conjunto. Imagine agora que temos
e
. A soma é
, que ainda está no conjunto porque
. Até agora, a adição mantém o vetor no conjunto. Mas precisamos continuar para ter certeza.
Passo 6
Vamos verificar a última condição: Fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor no conjunto, por exemplo,
, e multiplique por
. O resultado é
. Agora, olha só:
, então esse vetor não está mais no conjunto
. Isso quebra a condição de fechamentos sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.