Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
integral x1+x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais utilizando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a integral escolhendo uma substituição adequada que facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador u = 1 + x^2 está relacionado à derivada do numerador . Isso sugere que podemos usar uma substituição onde seja igual a .
Definimos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Observamos que na integral temos x , dx = du2 , que está presente em . Podemos resolver para :

Passo 5

Substituímos integral x1+x^2 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 12 ln|1 + x^2| + C de volta na expressão:

Resposta

integral x1+x^2 , dx = 12 ln(1 + x^2) + C

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