Dada a cicloide descrita pelas equações,
encontre
e
no ponto em que
atinge o seu valor máximo para
no intervalo fechado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as equações paramétricas de uma cicloide:
A gente precisa encontrar as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de
em relação a
no ponto onde
atinge seu valor máximo no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas paramétricas e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quando
atinge seu valor máximo. Observando a equação de
:
Sabemos que
varia entre -1 e 1. O valor máximo de
ocorre quando
é mínimo, ou seja, quando
. Isso acontece quando
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da derivada paramétrica:
Calculando
e
:
Então,
Passo 4
Vamos simplificar
no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, a segunda derivada de
em relação a
. Para isso, usamos:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Sabendo que
, substituímos:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar
no ponto
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
.
Passo 7
Finalmente, vamos encontrar
, a terceira derivada de
em relação a
. Usando:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Então,
Passo 8
Vamos simplificar
no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
.
Resposta
No ponto onde
atinge seu valor máximo, as derivadas são:
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Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Utilize integração por partes para calcular:
Resposta:
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Nos exercícios seguintes encontre
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)