Dada a cicloide descrita pelas equações,
x = a(t - sen(t)) e y = a(1 - cos(t))
encontre y'(x), y''(x) e y'''(x) no ponto em que y atinge o seu valor máximo para x no intervalo fechado [0, 2 pi a].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as equações paramétricas de uma cicloide:
A gente precisa encontrar as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de em relação a no ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas paramétricas e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quando atinge seu valor máximo. Observando a equação de :
Sabemos que varia entre -1 e 1. O valor máximo de ocorre quando é mínimo, ou seja, quando . Isso acontece quando .

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é a primeira derivada de em relação a . Para isso, usamos a regra da derivada paramétrica:
Calculando e :
Então,

Passo 4

Vamos simplificar no ponto :
Sabemos que e , então:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a segunda derivada de em relação a . Para isso, usamos:
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Sabendo que , substituímos:
Então,

Passo 6

Vamos simplificar no ponto :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar , a terceira derivada de em relação a . Usando:
Primeiro, derivamos em relação a :
Derivando em relação a :
Simplificando:
Então,

Passo 8

Vamos simplificar no ponto :
Sabemos que e , então:
Portanto, .

Resposta

No ponto onde atinge seu valor máximo, as derivadas são:

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Nos exercícios seguintes encontre sigma'(t) e sigma''(t).
(a) sigma(t) = (t^2 - 3) i + (2t + 1) j
(b) sigma(t) = e^(2 t) i + ln(t) j
© sigma(t) = cos(2t) i + tan(t) j
(d) sigma(t) = arctan(2t)i + 2^t j