Utilize o limite fundamental (exponencial) para calcular os limites
lim x 0(1+2 x)^12 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede pra gente calcular o limite de quando tende a zero. Aqui, vamos usar o conceito de limite fundamental da função exponencial, que é super útil pra resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o limite fundamental que a gente vai usar. O limite básico é:
limy 0 (1 + y)^1y = e
Esse limite mostra que, quando fica muito pequeno, se aproxima de (a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828).

Passo 3

Agora, vamos comparar o limite que a gente quer com esse limite fundamental. No nosso caso, temos . Se a gente fizer uma substituição para deixar isso parecido com o limite fundamental, fica mais fácil. Vamos deixar . Assim, quando tende a zero, também tende a zero.

Passo 4

Com a substituição limx 0 (1 + 2x)^12x = limy 0 (1 + y)^1y , o limite fica:
E a gente já sabe que esse limite é igual a .

Resposta

O limite é igual a .

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