Utilize o limite fundamental, lim x 0 sen(x)x=1, para calcular os limites abaixo: lim x 0 sen(a x)sen(b x), a, b in R^*.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite , onde e são números reais diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental que diz que . Esse limite é muito útil para resolver limites que envolvem funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Vamos reescrever o limite que queremos calcular de uma forma que possamos aplicar o limite fundamental. Observamos que temos no numerador e no denominador. Podemos dividir e multiplicar cada parte por e respectivamente para facilitar a aplicação do limite fundamental.

Passo 3

Reescrevendo o limite:
Aqui, multiplicamos e dividimos por lim x 0 sen(a x)sen(b x) = lim x 0 sen(a x)a x cdot b xsen(b x) cdot ab no numerador e por no denominador. Isso nos permite separar o limite em partes que conhecemos.

Passo 4

Agora, analisamos cada parte separadamente usando o limite fundamental:
Esses limites valem 1 porque estamos aplicando diretamente o limite fundamental , onde lim x 0 sen(a x)a x = 1 e lim x 0 b xsen(b x) = 1 .

Passo 5

Multiplicando os resultados dos limites obtidos:
1 cdot 1 cdot ab = ab

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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