Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X' = [[0, -1], [1, 0]] X + (sec(t), 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um sistema de equações diferenciais usando a técnica de variação de parâmetros. A equação que nos deram é:
Vamos precisar entender como resolver sistemas lineares homogêneos e particulares usando variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo. Isso significa resolver:
Essa matriz é conhecida por representar uma rotação, e suas soluções envolvem funções trigonométricas.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores da matriz para entender o comportamento das soluções. Calculamos o determinante de :
Isso nos dá os autovalores e , que são imaginários puros. Isso indica que as soluções homogêneas serão combinações de funções seno e cosseno.

Passo 4

Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui, e são constantes que determinaremos com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos para a solução particular usando variação de parâmetros. Assumimos que as constantes e agora são funções do tempo , ou seja, e .
Então, propomos:

Passo 6

Derivamos :

Passo 7

Para simplificar, impomos a condição de que:
Isso nos permite resolver para e .

Passo 8

Substituindo e na equação original, temos:
Usando as condições que impusemos, isso simplifica para:

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema para e :
Multiplicando a segunda equação por e a primeira por , e somando, conseguimos encontrar .

Passo 10

Após resolver o sistema, encontramos:
E:

Passo 11

Integrando, obtemos:
Onde e são constantes de integração, que podem ser absorvidas nas constantes gerais da solução.

Passo 12

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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