Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um sistema de equações diferenciais usando a técnica de variação de parâmetros. A equação que nos deram é:
Vamos precisar entender como resolver sistemas lineares homogêneos e particulares usando variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo. Isso significa resolver:
Essa matriz é conhecida por representar uma rotação, e suas soluções envolvem funções trigonométricas.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores da matriz para entender o comportamento das soluções. Calculamos o determinante de
:
Isso nos dá os autovalores
e
, que são imaginários puros. Isso indica que as soluções homogêneas serão combinações de funções seno e cosseno.
Passo 4
Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos para a solução particular usando variação de parâmetros. Assumimos que as constantes
e
agora são funções do tempo
, ou seja,
e
.
Então, propomos:
Passo 6
Derivamos
:
Passo 7
Para simplificar, impomos a condição de que:
Isso nos permite resolver para
e
.
Passo 8
Substituindo
e
na equação original, temos:
Usando as condições que impusemos, isso simplifica para:
Passo 9
Agora, resolvemos o sistema para
e
:
Multiplicando a segunda equação por
e a primeira por
, e somando, conseguimos encontrar
.
Passo 10
Após resolver o sistema, encontramos:
E:
Passo 11
Integrando, obtemos:
Onde
e
são constantes de integração, que podem ser absorvidas nas constantes gerais da solução.
Passo 12
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.