Encontre os valores de
tais que a área da região delimitada pelas parábolas
seja 576.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que a área da região delimitada pelas parábolas
e
seja igual a 576. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para determinar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas parábolas se comportam. A primeira parábola
é uma parábola voltada para cima, deslocada para baixo em
. A segunda parábola
é uma parábola voltada para baixo, deslocada para cima em
.
Para encontrar a área entre elas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Igualando as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação de interseção:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área entre as duas curvas entre
e
. A área
é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Sabemos que essa área deve ser igual a 576:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.
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e
, então
.
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, ao redor da reta
.
Sob que condições
? Explique.
Determine a integral que representa a área da superfície: toro gerado pela rotação da curva
ao redor da reta
.