Encontre os valores de tais que a área da região delimitada pelas parábolas seja 576.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de tais que a área da região delimitada pelas parábolas e seja igual a 576. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para determinar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas parábolas se comportam. A primeira parábola é uma parábola voltada para cima, deslocada para baixo em . A segunda parábola é uma parábola voltada para baixo, deslocada para cima em .
Para encontrar a área entre elas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Igualando as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação de interseção:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área entre as duas curvas entre e . A área é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Calculando a integral:

Passo 6

Sabemos que essa área deve ser igual a 576:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: , ao redor da reta .
Sob que condições ? Explique.
Determine a integral que representa a área da superfície: toro gerado pela rotação da curva ao redor da reta .