Seja uma função. Se e são inversas à direita para a função , elas são necessariemnte iguais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre funções e inversas à direita. Aqui, temos uma função e duas possíveis inversas à direita, e . Queremos saber se essas duas inversas precisam ser iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à direita e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma inversa à direita. Uma função é chamada de inversa à direita de se, quando a compomos com , a gente obtém a função identidade em . Matemáticamente, isso é escrito como:
Ou seja, para todo , temos .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa ter duas inversas à direita, e . Isso quer dizer que:
Mas será que isso força e a serem a mesma função? Não necessariamente.

Passo 4

Para entender por que, imagine que para alguns elementos de , os e podem atribuir elementos diferentes de que ainda satisfazem . Isso acontece especialmente se a função não for injetora, ou seja, se diferentes elementos de puderem ser mapeados para o mesmo elemento em .

Passo 5

Por exemplo, suponha que e , com . Então, podemos definir duas funções inversas à direita:
Ambas satisfazem , mas claramente .

Resposta

Não, e não precisam ser necessariamente iguais.

Exercícios relacionados

Seja uma função. Se e são inversas à esquerda para a função , elas são necessariamente iguais?
Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?
Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à direita mas não tenha uma inversa à esquerda?
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: