Seja
uma função. Se
e
são inversas à direita para a função
, elas são necessariemnte iguais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre funções e inversas à direita. Aqui, temos uma função
e duas possíveis inversas à direita,
e
. Queremos saber se essas duas inversas precisam ser iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa à direita e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma inversa à direita. Uma função
é chamada de inversa à direita de
se, quando a compomos com
, a gente obtém a função identidade em
. Matemáticamente, isso é escrito como:
Ou seja, para todo
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa ter duas inversas à direita,
e
. Isso quer dizer que:
Mas será que isso força
e
a serem a mesma função? Não necessariamente.
Passo 4
Para entender por que, imagine que para alguns elementos de
, os
e
podem atribuir elementos diferentes de
que ainda satisfazem
. Isso acontece especialmente se a função
não for injetora, ou seja, se diferentes elementos de
puderem ser mapeados para o mesmo elemento em
.
Passo 5
Por exemplo, suponha que
e
, com
. Então, podemos definir duas funções inversas à direita:
Ambas satisfazem
, mas claramente
.
Resposta
Não,
e
não precisam ser necessariamente iguais.
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uma função. Se
e
são inversas à esquerda para a função
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tenha uma inversa à esquerda mas não tenha uma inversa à direita?
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Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: