Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o Método de Variação dos Parâmetros para achar a solução geral. Precisaremos encontrar primeiro a solução da equação homogênea e depois uma solução particular que resolva a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que estamos ignorando o termo constante (-3) por enquanto.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica substituindo
por
e
por
:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Assim, as soluções são
e
.
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
usando o Método de Variação dos Parâmetros. Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular
também seja uma constante, digamos
.
Passo 7
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Isso não funciona, então nossa suposição estava errada. Precisamos tentar outro tipo de solução. Vamos supor que
.
Passo 8
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
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Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas: