Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o Método de Variação dos Parâmetros para achar a solução geral. Precisaremos encontrar primeiro a solução da equação homogênea e depois uma solução particular que resolva a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso significa que estamos ignorando o termo constante (-3) por enquanto.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica substituindo por e por :

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Assim, as soluções são e .

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o Método de Variação dos Parâmetros. Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular também seja uma constante, digamos .

Passo 7

Derivando :
Substituindo na equação original:
Isso não funciona, então nossa suposição estava errada. Precisamos tentar outro tipo de solução. Vamos supor que .

Passo 8

Derivando :
Substituindo na equação original:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas: