Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
partialpartial barz(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a . Isso envolve conceitos de cálculo complexo. Vamos precisar entender como expressar e em termos de e , e depois aplicar a derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no cálculo complexo, podemos escrever o número complexo como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Daí, a conjugada de é .

Passo 3

Agora, queremos expressar z = x + i y barz = x - i y e z + barz = 2x implies x = z + barz2 em termos de z - barz = 2i y implies y = z - barz2i e . Podemos fazer isso resolvendo as duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 4

Agora que temos x + y = z + barz2 + z - barz2i e em termos de e , vamos somar :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos cada termo sobre um denominador comum:
x + y = z + barz2 + z - barz2i = z + barz2 + 12i(z - barz)

Passo 6

Agora, vamos lembrar que 12i (z - barz) = -i2 (z - barz) , então podemos simplificar:
x + y = z + barz2 - i2 (z - barz)
Então, a expressão fica:

Passo 7

Para calcular a derivada parcial em relação a partial zpartial barz = 0 e partial barzpartial barz = 1 , , vamos derivar cada termo separadamente.
Sabemos que:

Passo 8

Aplicando a derivada:
partialpartial barz (x + y) = partialpartial barz ( z + barz2 - i2 (z - barz) )
Isso resulta em:
12 cdot partial zpartial barz + 12 cdot partial barzpartial barz - i2 cdot partial zpartial barz + i2 cdot partial barzpartial barz

Passo 9

Substituindo as derivadas conhecidas:
12 cdot 0 + 12 cdot 1 - i2 cdot 0 + i2 cdot 1 = 12 + i2

Resposta

A derivada parcial de partialpartial barz (x + y) = 12 + i2 em relação a é:

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