Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a . Isso envolve conceitos de cálculo complexo. Vamos precisar entender como expressar e em termos de e , e depois aplicar a derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no cálculo complexo, podemos escrever o número complexo como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Daí, a conjugada de é .

Passo 3

Agora, queremos expressar e em termos de e . Podemos fazer isso resolvendo as duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 4

Agora que temos e em termos de e , vamos somar :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos cada termo sobre um denominador comum:

Passo 6

Agora, vamos lembrar que , então podemos simplificar:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Para calcular a derivada parcial em relação a , , vamos derivar cada termo separadamente.
Sabemos que:

Passo 8

Aplicando a derivada:
Isso resulta em:

Passo 9

Substituindo as derivadas conhecidas:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: