Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso envolve conceitos de cálculo complexo. Vamos precisar entender como expressar
e
em termos de
e
, e depois aplicar a derivada parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no cálculo complexo, podemos escrever o número complexo
como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Daí, a conjugada de
é
.
Passo 3
Agora, queremos expressar
e
em termos de
e
. Podemos fazer isso resolvendo as duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 4
Agora que temos
e
em termos de
e
, vamos somar
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos cada termo sobre um denominador comum:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que
, então podemos simplificar:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Para calcular a derivada parcial em relação a
,
, vamos derivar cada termo separadamente.
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando a derivada:
Isso resulta em:
Passo 9
Substituindo as derivadas conhecidas:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: