Utilize a mudança de variáveis x=e^r, y=e^s, para concluir que a equação
x^2 partial^2 upartial x^2+y^2 partial^2 upartial y^2+x partial upartial x+y partial upartial y=0
é equivalente a
partial^2 upartial r^2+partial^2 upartial s^2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas parciais em relação a e . O objetivo é usar uma mudança de variável onde e para transformar essa equação na equação de Laplace, que é mais simples. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação em mudanças de variável, conhecidas como regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais de em relação a e em termos de e . Sabemos que e , então podemos escrever e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de partial upartial x = partial upartial r partial rpartial x + partial upartial s partial spartial x em relação a partial upartial x = 1x partial upartial r usando a regra da cadeia:
Como , temos . E , que não depende de , então . Assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( 1x partial upartial r ) em relação a partial^2 upartial x^2 = -1x^2 partial upartial r + 1x partialpartial x ( partial upartial r ) :
partialpartial x ( partial upartial r ) = 1x partial^2 upartial r^2
Aplicando a regra do produto:
partial^2 upartial x^2 = -1x^2 partial upartial r + 1x^2 partial^2 upartial r^2
Novamente, usando a regra da cadeia para :
Então:

Passo 5

De maneira semelhante, vamos calcular as derivadas em relação a partial upartial y = 1y partial upartial s :
partial^2 upartial y^2 = -1y^2 partial upartial s + 1y^2 partial^2 upartial s^2
E a segunda derivada:

Passo 6

Agora, vamos substituir todas essas derivadas na equação original:
x^2 ( -1x^2 partial upartial r + 1x^2 partial^2 upartial r^2 ) + y^2 ( -1y^2 partial upartial s + 1y^2 partial^2 upartial s^2 ) + x ( 1x partial upartial r ) + y ( 1y partial upartial s ) = 0
Simplificando cada termo:
- partial upartial r + partial^2 upartial r^2 - partial upartial s + partial^2 upartial s^2 + partial upartial r + partial upartial s = 0

Passo 7

Observamos que partial^2 upartial r^2 + partial^2 upartial s^2 = 0 e . Portanto, a equação fica:

Resposta

A equação original, após a mudança de variável partial^2 upartial r^2 + partial^2 upartial s^2 = 0 e , se transforma em:

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Determine: a maior quantidade utilizada em uma única semana;
Seja f a função definida por f(x)=l3 x-1, se x <= 2 x^2-16x-4, se 2= 4 Calcule lim x 6 f(x).
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