Utilize a mudança de variáveis , para concluir que a equação
é equivalente a
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas parciais em relação a e . O objetivo é usar uma mudança de variável onde e para transformar essa equação na equação de Laplace, que é mais simples. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação em mudanças de variável, conhecidas como regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais de em relação a e em termos de e . Sabemos que e , então podemos escrever e .
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de em relação a usando a regra da cadeia:
Como , temos . E , que não depende de , então . Assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Novamente, usando a regra da cadeia para :
Então:
Passo 5
De maneira semelhante, vamos calcular as derivadas em relação a :
E a segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir todas essas derivadas na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Observamos que e . Portanto, a equação fica:
Resposta
A equação original, após a mudança de variável e , se transforma em: