Determine a função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial onde a segunda derivada de
em relação a
é igual a
. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Vamos precisar integrar essa função duas vezes e usar as condições iniciais
e
pra achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada
para encontrar a primeira derivada
. A integral de
é
, então temos:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição inicial
na expressão que encontramos para
:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 4
Vamos integrar novamente essa expressão para encontrar
. A integral de
é
, e a integral de 1 é
. Assim:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
na expressão de
:
Portanto, a função
fica:
Resposta
A função que satisfaz a equação diferencial e as condições dadas é
.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Utilize a mudança de variável
para calcular as integrais seguintes:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)