Determine a função y = y(x), x pertence a R tal que d²y/dx² = e^(-x), y'(0) = 0 e y(0) = 1.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial onde a segunda derivada de em relação a é igual a . A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Vamos precisar integrar essa função duas vezes e usar as condições iniciais e pra achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada . A integral de é , então temos:
Aqui, é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição inicial na expressão que encontramos para :
Então, a primeira derivada fica:

Passo 4

Vamos integrar novamente essa expressão para encontrar . A integral de é , e a integral de 1 é . Assim:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.

Passo 5

Aplicando a condição inicial na expressão de :
Portanto, a função fica:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e as condições dadas é .

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
(b)
©
(d) .
Utilize a mudança de variável para calcular as integrais seguintes:
(a)
(b)
© .
Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .