Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo: integral sec ^2(x) cdot tg^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar uma mudança de variável para calcular a integral de sec^2(x) cdot tan^3(x) , dx. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando sec^2(x) cdot tan^3(x), percebemos que se considerarmos u = tan(x), sua derivada du/dx = sec^2(x). Isso é ótimo porque temos sec^2(x) , dx na nossa integral, que corresponde a du.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u = tan(x) du = sec^2(x) , dx
Agora, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral sec^2(x) cdot tan^3(x) , dx = integral u^3 , du

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples: integral u^3 , du. Vamos integrar isso com relação a u.
integral u^3 , du = u^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = tan(x):
u^44 + C = tan^4(x)4 + C

Resposta

A integral de sec^2(x) cdot tan^3(x) , dx é tan^4(x)4 + C.

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