Determine a solução geral das equações de diferença:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença: . Esse tipo de equação faz parte da matemática que estuda sequências e como cada termo se relaciona com o anterior. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma expressão geral que nos diga qualquer termo da sequência com base no termo inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. Ela significa que cada termo seguinte da sequência é igual ao termo atual mais 2. Ou seja, se começarmos com um valor inicial , o próximo termo será , depois , e assim por diante.

Passo 3

Agora, para encontrar uma expressão geral para , a gente precisa identificar um padrão. Observando os primeiros termos:
  • (termo inicial)
Vemos que cada termo está aumentando de 2 em 2 a partir do termo inicial.

Passo 4

Baseado nesse padrão, podemos generalizar que o -ésimo termo da sequência é o termo inicial mais 2 vezes . Ou seja, para qualquer , temos:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde é o valor inicial da sequência.

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Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
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Calcule as integrais abaixo.
$(b) sen .