Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é
e a condição inicial é
. Vamos usar o conceito de separação de variáveis, que é uma técnica pra resolver equações diferenciais onde a gente consegue separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro. A equação original é:
Sabemos que
, então podemos reescrever como:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
. A integral de
é:
E a integral de
é:
Podemos juntar as constantes de integração, já que
e
são constantes arbitrárias, então vamos escrever
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para encontrar
em função de
, precisamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação
, temos:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Para que a solução seja real, o discriminante
precisa ser maior ou igual a zero:
Considerando a condição inicial
, escolhemos a solução positiva:
Resposta
A solução do PVI é:
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Encontre uma função
tal que
,
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da parábola
de
a
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.