Calcule
onde
e
é o retângulo dado por
e
.
Passo 1
Beleza, então vamos calcular a integral dupla de
sobre o retângulo
definido por
e
. Isso está relacionado ao cálculo de áreas e volumes usando integrais duplas, e vamos precisar entender como integrar em duas variáveis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área sobre a qual vamos integrar. O retângulo
tem
indo de 1 a 2 e
indo de 0 a 1. Isso significa que estamos somando os valores de
em todos os pontos dentro desse retângulo.
Passo 3
A integral dupla
pode ser resolvida integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em
.
Passo 4
Vamos escrever a integral como
. Isso significa que, para cada valor fixo de
, vamos integrar
de
até
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna:
. Como
é constante em relação a
, podemos separar a integral:
A primeira parte é a integral de
, e a segunda é a integral de
tratada como constante.
Passo 6
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 7
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.