Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas de primeira orgem dos itens abaixo:
(f) y = sen(ln x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de primeira ordem da função usando a regra da cadeia. Aqui, vamos trabalhar com derivadas e a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Precisamos entender como derivar uma função que está dentro de outra função, como o seno de um logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Temos , onde . Isso significa que nossa função externa é o seno e a função interna é o logaritmo natural de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos diz que, se temos uma função composta , então a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos a função externa em relação à função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde e :
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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