Encontre f'(x) e f''(x)
(d) f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem logaritmos e quocientes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e as propriedades das derivadas de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função é um quociente, então usaremos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar . Podemos reescrever essa função como:
Vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão:
Onde e . Calculando e :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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