Utilize a regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t, onde
z=sen alpha cos beta, alpha=s t^2 e beta=s^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = sin alpha cos beta em relação a alpha = s t^2 e beta = s^2 t e . A função dada é:
onde
Então, vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de partial zpartial alpha = cos alpha cos beta em relação a partial zpartial beta = -sin alpha sin beta e . Isso facilita na hora de aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas de partial alphapartial s = t^2 e partial alphapartial t = 2 s t em relação a partial betapartial s = 2 s t e partial betapartial t = s^2 .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial alpha cdot partial alphapartial s + partial zpartial beta cdot partial betapartial s e partial zpartial s = cos alpha cos beta cdot t^2 + (-sin alpha sin beta) cdot 2 s t .
Para partial zpartial s = cos alpha cos beta cdot t^2 - 2 s t sin alpha sin beta :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Para partial zpartial t = partial zpartial alpha cdot partial alphapartial t + partial zpartial beta cdot partial betapartial t :
partial zpartial t = cos alpha cos beta cdot 2 s t + (-sin alpha sin beta) cdot s^2
Substituindo:
partial zpartial t = 2 s t cos alpha cos beta - s^2 sin alpha sin beta
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = cos alpha cos beta cdot t^2 - 2 s t sin alpha sin beta
partial zpartial t = 2 s t cos alpha cos beta - s^2 sin alpha sin beta

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