Use a Regra da Cadeia para determinar
, sabendo-se que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar
usando a Regra da Cadeia. A gente vai trabalhar com funções que dependem de outras funções, então vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula da Regra da Cadeia. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Aqui,
depende de
e
, e
e
dependem de
. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra da Cadeia para multivariáveis. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Agora, substituímos os valores de
e
em termos de
:
Vamos substituir esses valores na expressão:
Agora, podemos simplificar essa expressão passo a passo para encontrar a resposta final.
Resposta
Após simplificar toda a expressão, a derivada
é: