Use a Regra da Cadeia para determinar d/z dt, sabendo-se que
z = x^2 * y - 2 * x * y^2, x = 2 + t^2 e y = 1 - t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar usando a Regra da Cadeia. A gente vai trabalhar com funções que dependem de outras funções, então vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula da Regra da Cadeia. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Aqui, depende de e , e e dependem de . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia para multivariáveis. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Agora, substituímos os valores de e em termos de :
Vamos substituir esses valores na expressão:
Agora, podemos simplificar essa expressão passo a passo para encontrar a resposta final.

Resposta

Após simplificar toda a expressão, a derivada é:

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