Seja f: R em R a função dada por f(x)= x2 e seja g: R em R a função dada por g(x)= f( x+h ) - f(x) sobre h, com h diferente de 0. Nessas condições g(x) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  1. Função f: definida por $ f(x) = x^2 $. Isso significa que, para qualquer valor de $ x $, $ f(x) $ é o quadrado de $ x $.
  2. Função g: definida por $ g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $, onde $ h $ é diferente de 0.
O objetivo é descobrir qual é a expressão de $ g(x) $ em termos de $ x $ e $ h $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra básica, especificamente a substituição e a simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função $ f $ na expressão de $ g(x) $. Sabemos que $ f(x) = x^2 $, então:
f

Passo 3

Agora, precisamos expandir o termo $ (x+h)^2 $. Lembre-se que $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. Aplicando isso:
(x+h)^2

Passo 4

Substituímos essa expansão de volta na expressão de $ g(x) $:
g(x)

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro da fração. Subtraindo $ x^2 $ de $ x^2 $ cancela esses termos:
x^2

Passo 6

Em seguida, vamos dividir cada termo no numerador por $ h $:
h

Resposta

Portanto, a função $ g(x) $ é igual a:
g(x)

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