Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar o conjunto de números complexos
que satisfazem a condição
. A matéria que envolve aqui é a Álgebra dos Números Complexos, especialmente a parte que trata de operações com números complexos e suas representações no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo ao quadrado e como interpretar a parte imaginária desse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um número complexo
na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Nosso objetivo é calcular
e encontrar sua parte imaginária.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a parte imaginária de
é
.
Passo 4
A condição dada é
, ou seja:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2:
Então, nosso conjunto é definido por todos os pontos
no plano complexo que satisfazem
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. A equação
representa uma hipérbole. O conjunto
inclui todas as regiões onde o produto de
e
é menor ou igual a
, ou seja, as áreas abaixo das duas ramos da hipérbole.
Passo 6
Vamos analisar se o conjunto é fechado ou aberto. Um conjunto é fechado se inclui todos os seus pontos de fronteira. Como a condição é
, incluindo igualdade, o conjunto inclui a hipérbole
. Portanto, o conjunto é fechado.
Passo 7
Para determinar se é aberto, lembramos que um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como nosso conjunto inclui a fronteira
, ele não é aberto. Então, o conjunto é fechado, mas não aberto.
Passo 8
A fronteira do conjunto é justamente a hipérbole
. Isso porque essa é a linha que separa os pontos que satisfazem
dos que não satisfazem.
Passo 9
Agora, vamos ver se o conjunto é um domínio. Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como já vimos que o conjunto não é aberto, ele não é um domínio.
Passo 10
Por fim, vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano complexo. No nosso caso,
permite que
e
cresçam sem limites, desde que o produto deles não exceda
. Portanto, o conjunto não é limitado.
Resposta
O conjunto
é representado por todas as combinações
no plano complexo que satisfazem
, formando uma região abaixo da hipérbole
. Este conjunto é fechado, pois inclui sua fronteira, que é a hipérbole mencionada. Não é aberto, nem um domínio, e também não é limitado, já que pode se estender indefinidamente no plano.
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Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)
(b)
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e
(b)
Utilize a técnica da derivada primeira, para verificar os intervalos de crescimento e de decrescimento de funções, para esboçar os gráficos das seguintes funções:
a)
a)