Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar o conjunto de números complexos que satisfazem a condição . A matéria que envolve aqui é a Álgebra dos Números Complexos, especialmente a parte que trata de operações com números complexos e suas representações no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo ao quadrado e como interpretar a parte imaginária desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um número complexo na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. Nosso objetivo é calcular e encontrar sua parte imaginária.

Passo 3

Vamos calcular :
Então, a parte imaginária de é .

Passo 4

A condição dada é , ou seja:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2:
Então, nosso conjunto é definido por todos os pontos no plano complexo que satisfazem .

Passo 5

Agora, vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. A equação representa uma hipérbole. O conjunto inclui todas as regiões onde o produto de e é menor ou igual a , ou seja, as áreas abaixo das duas ramos da hipérbole.

Passo 6

Vamos analisar se o conjunto é fechado ou aberto. Um conjunto é fechado se inclui todos os seus pontos de fronteira. Como a condição é , incluindo igualdade, o conjunto inclui a hipérbole . Portanto, o conjunto é fechado.

Passo 7

Para determinar se é aberto, lembramos que um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como nosso conjunto inclui a fronteira , ele não é aberto. Então, o conjunto é fechado, mas não aberto.

Passo 8

A fronteira do conjunto é justamente a hipérbole . Isso porque essa é a linha que separa os pontos que satisfazem dos que não satisfazem.

Passo 9

Agora, vamos ver se o conjunto é um domínio. Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como já vimos que o conjunto não é aberto, ele não é um domínio.

Passo 10

Por fim, vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano complexo. No nosso caso, permite que e cresçam sem limites, desde que o produto deles não exceda . Portanto, o conjunto não é limitado.

Resposta

O conjunto é representado por todas as combinações no plano complexo que satisfazem , formando uma região abaixo da hipérbole . Este conjunto é fechado, pois inclui sua fronteira, que é a hipérbole mencionada. Não é aberto, nem um domínio, e também não é limitado, já que pode se estender indefinidamente no plano.

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Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e
Utilize a técnica da derivada primeira, para verificar os intervalos de crescimento e de decrescimento de funções, para esboçar os gráficos das seguintes funções:
a)