Calcular as integrais definidas abaixo
17. integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de sen x cos x no intervalo de pi/4 a 3pi/4. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, lembra que a integral definida nos dá a área sob a curva da função entre os limites dados. Aqui, a função que vamos integrar é sen x cos x.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de substituição, que ajuda a simplificar a expressão tornando a integração mais fácil.

Passo 4

Vamos escolher uma substituição adequada. Vamos deixar u = sen x. Assim, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral.

Passo 5

Calculando a derivada de u:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx

Passo 6

Agora, substituindo na integral original:
integralpi/4^3pi/4 sen x cos x , dx = integralu(pi/4)^u(3pi/4) u , du

Passo 7

Vamos calcular os novos limites de integração substituindo x por pi/4 e 3pi/4 na express��o de u:
u(pi4) = sen(pi4) = raiz22
u(3pi4) = sen(3pi4) = raiz22

Passo 8

Agora, a integral fica:
integralraiz22^raiz22 u , du

Passo 9

Como os limites de integração são iguais, a integral de uma função sobre um intervalo de comprimento zero é zero.

Resposta

A integral definida de sen x cos x de pi/4 a 3pi/4 é igual a 0.

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