Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z) = 1/((x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)) < x, y, z >
através da parte superior do elipsóide S: x^2 + y^2 + z^2/4 = 1, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z) = 1/((x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)) < x, y, z >
através da parte superior do elipsóide
orientada com o normal apontando para fora. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente:
Como nosso elipsóide não é fechado, precisamos fechá-lo adicionando a base inferior onde z = 0. Assim, teremos uma superfície fechada composta pela parte superior do elipsóide e a base inferior.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
Para o campo dado:
Calculando cada derivada:
Similarmente para e .
Somando tudo, percebemos que a divergência resulta em zero:

Passo 4

Como a divergência é zero, a integral de volume também será zero:
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com nossa superfície original. O fluxo através da parte superior do elipsóide mais o fluxo através da base inferior é igual a zero:
Queremos apenas o fluxo através da parte superior, então isolamos:

Passo 6

Na base inferior ( z = 0), o campo F simplifica para:
O vetor normal aponta para baixo, ou seja, na direção de -z. Então,
Portanto, o fluxo através da base é zero, e assim:

Resposta

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