Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide
orientada com o normal apontando para fora. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente:
Como nosso elipsóide não é fechado, precisamos fechá-lo adicionando a base inferior onde
. Assim, teremos uma superfície fechada composta pela parte superior do elipsóide e a base inferior.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para o campo dado:
Calculando cada derivada:
Similarmente para
e
.
Somando tudo, percebemos que a divergência resulta em zero:
Passo 4
Como a divergência é zero, a integral de volume também será zero:
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero.
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com nossa superfície original. O fluxo através da parte superior do elipsóide mais o fluxo através da base inferior é igual a zero:
Queremos apenas o fluxo através da parte superior, então isolamos:
Passo 6
Na base inferior (
), o campo
simplifica para:
O vetor normal aponta para baixo, ou seja, na direção de
. Então,
Portanto, o fluxo através da base é zero, e assim: