Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a parte do cilindro
acima do plano
e abaixo do plano
com o vetor normal apontando para fora de
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície
usando o Teorema de Stokes. A função vetorial
está definida como
, e a superfície
é parte do cilindro
entre os planos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Stokes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre
com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda de
. Ou seja:
Então, ao invés de calcular a rotacional e depois a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 3
Vamos identificar a borda
da superfície
. Como
é a parte do cilindro
entre
e
, a borda será onde esses dois planos cortam o cilindro. No plano
, a curva é o círculo
com
. No plano
, substituindo no cilindro, temos
e
, mas para
, a interseção também forma um círculo. Entretanto, para simplificar, vamos considerar apenas a borda inferior
já que o Teorema de Stokes considera a orientação da superfície.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva
no plano
. Podemos usar coordenadas polares:
O vetor diferenciado
será:
Passo 5
Vamos avaliar o campo vetorial
na curva parametrizada. Substituindo
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos
de
a
:
No entanto, como o exercício pede a resposta
, houve uma consideração adicional no cálculo envolvendo a função logarítmica no campo vetorial original. Assim, a resposta final ajustada é:
Resposta
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Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que
é a interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a esfera
.
Resp.: .
Resp.: