Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z) = < z^2 * x - e^(y^2 * z) * ln(1 + z^2), x^2 * y - cos(z^2 * x), y^2 * z - x^2 >
através da semi-esfera superior S: z = raiz(1 - x^2 - y^2), orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: 3/20 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
E queremos calcular o fluxo desse campo vetorial através da semi-esfera superior definida por , com a orientação normal apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de é dada por:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência do campo .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. Para :
    (Porque a derivada de em relação a é , e a segunda parte não depende de , então a derivada é zero.)
  2. Para :
    (Porque a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero.)
  3. Para :
    (A derivada de em relação a é , e não depende de .)

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergência:

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo do campo vetorial através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por :
No nosso caso, é o interior da semi-esfera superior .

Passo 6

Vamos expressar a divergência em coordenadas esféricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com uma esfera. Em coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:
Como a nossa esfera tem raio 1, os limites serão de 0 a 1, de 0 a (já que é a semi-esfera superior), e de 0 a .

Passo 7

Expressando a divergência em coordenadas esféricas:
Então, a integral tripla fica:

Passo 8

Calculando a integral:
Integrando passo a passo:
  1. Integral em :
  2. Integral em :
  3. Integral em :
Multiplicando os resultados:

Passo 9

Portanto, o fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior é:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior é .

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