Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
E queremos calcular o fluxo desse campo vetorial através da semi-esfera superior
definida por
, com a orientação normal apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
é dada por:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência do campo
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
-
Para
: (Porque a derivada deem relação a é , e a segunda parte não depende de , então a derivada é zero.) -
Para
: (Porque a derivada deem relação a é , e a derivada de em relação a é zero.) -
Para
: (A derivada deem relação a é , e não depende de .)
Passo 4
Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergência:
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo do campo vetorial
através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
No nosso caso,
é o interior da semi-esfera superior
.
Passo 6
Vamos expressar a divergência em coordenadas esféricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com uma esfera. Em coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:
Como a nossa esfera tem raio 1, os limites serão
de 0 a 1,
de 0 a
(já que é a semi-esfera superior), e
de 0 a
.
Passo 7
Expressando a divergência
em coordenadas esféricas:
Então, a integral tripla fica:
Passo 8
Calculando a integral:
Integrando passo a passo:
-
Integral em
: -
Integral em
: -
Integral em
:
Multiplicando os resultados:
Passo 9
Portanto, o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
é:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior é
.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que
é a interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .
Resp.:
Seja
a parte do cilindro
limitada pelos planos
e
.
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .
© Usando (a), determine a área da superfície
Resp.:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a parte do cilindro
acima do plano
e abaixo do plano
com o vetor normal apontando para fora de
.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Resp.: