Utilize o Teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F2 sobre a curva C2 definidos peld eq. 3. {20 pontos}
F2(x, y)=(x^2+4 y) i+(x+y^2) j,
C2: r2(t)=2 cos (t) i+2 sen(t) j, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para usar o Teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo vetorial F2 sobre a curva C2. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green tanto para circulação quanto para fluxo, além de trabalhar com parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D que está dentro de C. O teorema nos ajuda a transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais fáceis de calcular.
Para a circulação, usamos:
Circulação = ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA çã
E para o fluxo exterior, usamos:
Fluxo = ointC F cdot n , ds = integral duplaD ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA
onde F = Pi + Qj.

Passo 3

Vamos calcular a circulação primeiro. Dado o campo vetorial:
F2(x, y) = (x^2 + 4y) i + (x + y^2) j
Aqui, P = x^2 + 4y e Q = x + y^2.
Aplicando o Teorema de Green para circulação:
Circulação = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA çã
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 1
partial Ppartial y = 4
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 4 = -3
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D. A curva C2 é um círculo com raio 2, então a área D é um círculo de raio 2. A área de um círculo é pi r^2, então:
Área = pi (2)^2 = 4pi Á
Portanto:
Circulação = integral duplaD (-3) dA = -3 times 4pi = -12pi çã

Passo 4

Agora vamos calcular o fluxo exterior usando novamente o Teorema de Green. Para o fluxo, usamos:
Fluxo = integral duplaD ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 2x
partial Qpartial y = 2y
Então:
partial Ppartial x + partial Qpartial y = 2x + 2y

Passo 5

Para calcular a integral dupla de 2x + 2y sobre a região D, que é um círculo centrado na origem, percebemos que a função é simétrica em relação aos eixos. Quando integramos x e y sobre um círculo centrado na origem, devido à simetria, essas integrais resultam em zero:
integral duplaD 2x , dA = 0
integral duplaD 2y , dA = 0
Portanto:
Fluxo = 0 + 0 = 0

Resposta

A circulação no sentido anti-horário é -12pi e o fluxo exterior é 0.

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