Uma configuração de cargas em coordenadas cilíndricas é dada por
. Use a lei de Gauss para encontrar
.
Dado: A superfície gaussiana especial adequada para o problema é um cilindro circular reto fechado. As integrais sobre as superfícies planas do cilindro (tampas) são nulas.
Dado: A superfície gaussiana especial adequada para o problema é um cilindro circular reto fechado. As integrais sobre as superfícies planas do cilindro (tampas) são nulas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga descrita pela densidade volumétrica
com unidades de
. O objetivo é encontrar o campo elétrico deslocamento
usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e escolher uma superfície gaussiana adequada, que no caso é um cilindro circular reto fechado. Além disso, sabemos que as integrais sobre as tampas desse cilindro serão nulas.
Passo 2
A Lei de Gauss para o campo elétrico deslocamento
é dada por:
Aqui,
é a carga livre dentro da superfície gaussiana
.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro circular reto com raio
e altura
. Devido à simetria do problema, o campo
terá apenas componente radial e será uniforme em toda a superfície lateral do cilindro. As contribuições das tampas serão nulas, conforme dado no problema.
Passo 4
Calculamos a carga livre
dentro do cilindro. Como a densidade de carga é
, a carga total é a integral de
sobre o volume do cilindro:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Usamos a técnica de integração por partes ou consultamos a integral padrão:
Avaliada de 0 a
:
Passo 6
Substituímos a integral calculada na expressão para
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos a Lei de Gauss:
Onde
é a área lateral do cilindro.
Passo 8
Resolvendo para
:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico deslocamento
é dado por: