Uma configuração de cargas em coordenadas cilíndricas é dada por rho= 5 r e^-2 r(C / m^3). Use a lei de Gauss para encontrar D.
Dado: A superfície gaussiana especial adequada para o problema é um cilindro circular reto fechado. As integrais sobre as superfícies planas do cilindro (tampas) são nulas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga descrita pela densidade volumétrica com unidades de . O objetivo é encontrar o campo elétrico deslocamento usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e escolher uma superfície gaussiana adequada, que no caso é um cilindro circular reto fechado. Além disso, sabemos que as integrais sobre as tampas desse cilindro serão nulas.

Passo 2

A Lei de Gauss para o campo elétrico deslocamento ointS D cdot dA = Qlivre é dada por:
Aqui, é a carga livre dentro da superfície gaussiana .

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro circular reto com raio e altura . Devido à simetria do problema, o campo terá apenas componente radial e será uniforme em toda a superfície lateral do cilindro. As contribuições das tampas serão nulas, conforme dado no problema.

Passo 4

Calculamos a carga livre Qlivre = integral0^r rho cdot 2pi r' h , dr' = integral0^r 5 r' e^-2 r' cdot 2pi r' h , dr' dentro do cilindro. Como a densidade de carga é Qlivre = 10pi h integral0^r r'^2 e^-2 r' , dr' , a carga total é a integral de sobre o volume do cilindro:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral r'^2 e^-2 r' dr'
Usamos a técnica de integração por partes ou consultamos a integral padrão:
integral r'^2 e^-2 r' dr' = ( -r'^22 e^-2 r' - r'2 e^-2 r' - 14 e^-2 r' ) + C
Avaliada de 0 a [ -r^22 e^-2 r - r2 e^-2 r - 14 e^-2 r ] - [ 0 - 0 - 14 ] = -r^2 + r2 e^-2 r - 14 e^-2 r + 14 :

Passo 6

Substituímos a integral calculada na expressão para Qlivre = 10pi h ( -r^2 + r2 e^-2 r - 14 e^-2 r + 14 ) :
Qlivre = 10pi h ( 14 - (2r^2 + 2r + 1)4 e^-2 r ) = 10pi h4 (1 - (2r^2 + 2r + 1) e^-2 r)
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a Lei de Gauss:
ointS D cdot dA = D cdot (2pi r h) = Qlivre
Onde é a área lateral do cilindro.

Passo 8

Resolvendo para D = Qlivre2pi r h = 10pi h4 (1 - (2r^2 + 2r + 1) e^-2 r)2pi r h = 108 r (1 - (2r^2 + 2r + 1) e^-2 r) :
D = 54 r (1 - (2r^2 + 2r + 1) e^-2 r)
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico deslocamento D = 54 r (1 - (2r^2 + 2r + 1) e^-2 r) r é dado por:

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