Utilize o Teorema dos Pi para obter os grupos adimensionais que descrevem o desempenho de uma bomba centrifuga típica. Para isso vamos considerar que o objetivo da análise é estudar o comportamento de duas variáveis fundamentais: a altura de carga desenvolvida h, que tem dimensões de energia por unidade de massa, e a potência de entrada requerida P, que assim como a eficiência eta são função (ou dependem) da vazão volumétrica Q, a velocidade de rotação omega, diâmetro do rotor D , e das propriedades do fluido massa específica rho e viscosidade dinâmica mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema dos Pi para encontrar grupos adimensionais que descrevem o desempenho de uma bomba centrífuga. Estamos focando em duas variáveis principais: a altura de carga desenvolvida ( h) e a potência de entrada necessária ( P). Essas variáveis dependem de outras como a vazão volumétrica ( Q), velocidade de rotação ( omega), diâmetro do rotor ( D), massa específica do fluido ( rho) e viscosidade dinâmica ( mu). Vamos precisar das dimensões dessas variáveis e aplicar o Teorema dos Pi para montar os grupos adimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais em termos de massa ( M), comprimento ( L) e tempo ( T):
  • Altura de carga ( h): [h] = L
  • Potência de entrada ( P): [P] = M L^2 T^-3
  • Vazão volumétrica ( Q): [Q] = L^3 T^-1
  • Velocidade de rotação ( omega): [omega] = T^-1
  • Diâmetro do rotor ( D): [D] = L
  • Massa específica ( rho): [rho] = M L^-3
  • Viscosidade dinâmica ( mu): [mu] = M L^-1 T^-1

Passo 3

Segundo o Teorema dos Pi, o número de grupos adimensionais que precisamos é k = n - m, onde n é o número total de variáveis e m é o número de dimensões fundamentais.
Aqui, temos:
  • Número de variáveis ( n): 7 (h, P, Q, omega, D, rho, mu)
  • Número de dimensões fundamentais ( m): 3 (M, L, T)
Então, k = 7 - 3 = 4. Precisamos de 4 grupos adimensionais.

Passo 4

Agora, escolhemos m = 3 variáveis fundamentais como base. Geralmente, escolhemos aquelas que estão presentes nas diferentes dimensões. Vamos escolher:
  • Diâmetro do rotor ( D) com [D] = L
  • Velocidade de rotação ( omega) com [omega] = T^-1
  • Massa específica ( rho) com [rho] = M L^-3
Essas três variáveis cobrem as três dimensões (M, L, T).

Passo 5

Vamos agora expressar as outras variáveis ( h, P, Q, mu) em termos dessas três variáveis base para formar os grupos adimensionais.
Para cada variável dependente, montamos uma relação onde elevamos as variáveis base a potências desconhecidas e igualamos às dimensões da variável dependente.
Por exemplo, para a altura de carga ( h):
h cdot D^a cdot omega^b cdot rho^c = L cdot (L)^a cdot (T^-1)^b cdot (M L^-3)^c
Igualando as dimensões:
  • M: 0 = c
  • L: 1 = 1 + a - 3c
  • T: 0 = -b
Resolvendo:
  • c = 0
  • a = -1
  • b = 0
Então, o primeiro grupo adimensional é:
pi1 = hD

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a potência de entrada ( P):
P cdot D^a cdot omega^b cdot rho^c = M L^2 T^-3 cdot (L)^a cdot (T^-1)^b cdot (M L^-3)^c
Dimensões:
  • M: 1 + c
  • L: 2 + a - 3c
  • T: -3 - b
Igualando a zero:
  • 1 + c = 0 Rightarrow c = -1
  • 2 + a - 3(-1) = 0 Rightarrow a = -5
  • -3 - b = 0 Rightarrow b = -3
Então, o segundo grupo adimensional é:
pi2 = Prho D^-5 omega^-3
Mas geralmente simplificamos melhor, então reescrevendo:
pi2 = Prho D^5 omega^3

Passo 7

Para a vazão volumétrica ( Q):
Q cdot D^a cdot omega^b cdot rho^c = L^3 T^-1 cdot (L)^a cdot (T^-1)^b cdot (M L^-3)^c
Dimensões:
  • M: c = 0
  • L: 3 + a - 3c = 3 + a
  • T: -1 - b = 0
Resolvendo:
  • a = -3
  • b = -1
Então, o terceiro grupo adimensional é:
pi3 = QD^-3 omega^-1 = QD^3 omega

Passo 8

Por fim, para a viscosidade dinâmica ( mu):
mu cdot D^a cdot omega^b cdot rho^c = M L^-1 T^-1 cdot (L)^a cdot (T^-1)^b cdot (M L^-3)^c
Dimensões:
  • M: 1 + c = 0 Rightarrow c = -1
  • L: -1 + a - 3c = -1 + a + 3 = a + 2 = 0 Rightarrow a = -2
  • T: -1 - b = 0 Rightarrow b = -1
Então, o quarto grupo adimensional é:
pi4 = murho D^2 omega

Resposta

Os grupos adimensionais que descrevem o desempenho da bomba centrífuga são:
  1. pi1 = dfrachD
  2. pi2 = dfracPrho D^5 omega^3
  3. pi3 = dfracQD^3 omega
  4. pi4 = dfracmurho D^2 omega

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