Utilize o Teorema da Probabilidade Total e calcule as probabilidades marginais do estado de saúde do indivíduo e do resultado do teste, isto é, calcule
e
. Adicione essas probabilidades marginais à tabela elaborada no item item a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente use o Teorema da Probabilidade Total para calcular as probabilidades marginais relacionadas ao estado de saúde de uma pessoa e ao resultado de um teste que ela fez. Ou seja, precisamos achar:
-
: Probabilidade de a pessoa estar doente. -
: Probabilidade de a pessoa não estar doente. -
: Probabilidade de o teste dar positivo. -
: Probabilidade de o teste dar negativo.
Para isso, vamos usar a teoria de probabilidade, especificamente o Teorema da Probabilidade Total, que nos ajuda a encontrar probabilidades marginais a partir de probabilidades condicionais e da distribuição de outra variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Probabilidade Total. Esse teorema nos diz que, se tivermos uma partição do espaço amostral (neste caso, estar doente ou não estar doente), a probabilidade de um evento pode ser encontrada somando as probabilidades condicionais desse evento em cada parte da partição, multiplicadas pela probabilidade de cada parte.
Matematicamente, para um evento
:
Passo 3
Vamos aplicar isso para calcular
e
.
Mas, antes disso, precisamos saber que
é simplesmente
, já que ou a pessoa está doente ou não está. Então, se tivermos
, já podemos encontrar
.
Passo 4
Agora, para calcular
, precisamos das informações da tabela elaborada no item a), que provavelmente contém as probabilidades conjuntas relacionadas ao estado de saúde e ao resultado do teste.
Vamos supor que a tabela tenha as seguintes informações:
Estado de Saúde | Resultado do Teste | Probabilidade |
---|---|---|
Doente (
|
Positivo (
|
|
Doente (
|
Negativo (
|
|
Não Doente (
|
Positivo (
|
|
Não Doente (
|
Negativo (
|
|
Passo 5
Para encontrar
, somamos as probabilidades onde a pessoa está doente:
E para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as probabilidades marginais do resultado do teste, ou seja,
e
.
Usando o Teorema da Probabilidade Total:
Mas, na tabela,
e
, e assim por diante.
Passo 7
Substituindo esses valores na equação, temos:
Passo 8
Então, resumindo:
Resposta
As probabilidades marginais são:
Essas probabilidades foram adicionadas à tabela do item a).