Utilize o Teorema da Probabilidade Total e calcule as probabilidades marginais do estado de saúde do indivíduo e do resultado do teste, isto é, calcule P(D+), P(D-), P(T+) e P(T-). Adicione essas probabilidades marginais à tabela elaborada no item item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente use o Teorema da Probabilidade Total para calcular as probabilidades marginais relacionadas ao estado de saúde de uma pessoa e ao resultado de um teste que ela fez. Ou seja, precisamos achar:
  • P(D+): Probabilidade de a pessoa estar doente.
  • P(D-): Probabilidade de a pessoa não estar doente.
  • P(T+): Probabilidade de o teste dar positivo.
  • P(T-): Probabilidade de o teste dar negativo.
Para isso, vamos usar a teoria de probabilidade, especificamente o Teorema da Probabilidade Total, que nos ajuda a encontrar probabilidades marginais a partir de probabilidades condicionais e da distribuição de outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Probabilidade Total. Esse teorema nos diz que, se tivermos uma partição do espaço amostral (neste caso, estar doente ou não estar doente), a probabilidade de um evento pode ser encontrada somando as probabilidades condicionais desse evento em cada parte da partição, multiplicadas pela probabilidade de cada parte.
Matematicamente, para um evento A:
P(A) = P(A cap D+) + P(A cap D-) = P(A|D+)P(D+) + P(A|D-)P(D-)

Passo 3

Vamos aplicar isso para calcular P(D+) e P(D-).
Mas, antes disso, precisamos saber que P(D-) é simplesmente 1 - P(D+), já que ou a pessoa está doente ou não está. Então, se tivermos P(D+), já podemos encontrar P(D-).

Passo 4

Agora, para calcular P(D+), precisamos das informações da tabela elaborada no item a), que provavelmente contém as probabilidades conjuntas relacionadas ao estado de saúde e ao resultado do teste.
Vamos supor que a tabela tenha as seguintes informações:
Estado de Saúde Resultado do Teste Probabilidade
Doente ( D+) Positivo ( T+) a
Doente ( D+) Negativo ( T-) b
Não Doente ( D-) Positivo ( T+) c
Não Doente ( D-) Negativo ( T-) d

Passo 5

Para encontrar P(D+), somamos as probabilidades onde a pessoa está doente:
P(D+) = a + b
E para P(D-):
P(D-) = c + d

Passo 6

Agora, vamos calcular as probabilidades marginais do resultado do teste, ou seja, P(T+) e P(T-).
Usando o Teorema da Probabilidade Total:
P(T+) = P(T+|D+) P(D+) + P(T+|D-) P(D-)
P(T-) = P(T-|D+) P(D+) + P(T-|D-) P(D-)
Mas, na tabela, P(T+|D+) = aa+b e P(T+|D-) = cc+d, e assim por diante.

Passo 7

Substituindo esses valores na equação, temos:
P(T+) = (aa+b)(a + b) + (cc+d)(c + d) = a + c
P(T-) = b + d

Passo 8

Então, resumindo:
  • P(D+) = a + b
  • P(D-) = c + d
  • P(T+) = a + c
  • P(T-) = b + d

Resposta

As probabilidades marginais são:
  • P(D+) = a + b
  • P(D-) = c + d
  • P(T+) = a + c
  • P(T-) = b + d
Essas probabilidades foram adicionadas à tabela do item a).

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