Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que
é a interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra usar o Teorema de Stokes pra calcular uma integral de linha sobre uma curva
. A curva
é a interseção entre um parabolóide
e um cilindro
. A orientação da curva é no sentido anti-horário quando olhamos de cima. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada
com uma integral de superfície sobre uma superfície
que tem
como sua borda. A fórmula é:
Aqui,
é um campo vetorial,
é o rotacional de
, e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial
é dado pela expressão dentro da integral:
A gente precisa calcular o rotacional de
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:
Passo 5
Agora que temos o rotacional
, precisamos escolher uma superfície
cuja borda é
. Vamos optar pela parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
.
Passo 6
Para calcular a integral de superfície, precisamos do vetor normal
à superfície. Como vamos integrar
, e nosso rotacional é
, o vetor normal será na direção positiva de
, ou seja,
.
Passo 7
Vamos calcular a integral de superfície:
Então, precisamos calcular a área da superfície
.
Passo 8
A superfície
é a parte do parabolóide
dentro do cilindro
. Podemos simplificar o cilindro completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
. Usando coordenadas polares deslocadas, a área
da superfície é:
Passo 9
Finalmente, a integral de superfície fica: