Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
integralC y(1+z e^x z) d x+e^x z d y+x y e^x z d z
em que C é a interseção do parabolóide z=x^2+y^2 com o cilindro x^2+y^2=2 x, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: -pi.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra usar o Teorema de Stokes pra calcular uma integral de linha sobre uma curva . A curva é a interseção entre um parabolóide e um cilindro . A orientação da curva é no sentido anti-horário quando olhamos de cima. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua borda. A fórmula é:
Aqui, é um campo vetorial, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial F = ( y(1 + z e^x z), e^x z, x y e^x z ) é dado pela expressão dentro da integral:
A gente precisa calcular o rotacional de , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( x e^x z - x e^x z, y ( e^x z + x z e^x z ) - (y e^x z + x y z e^x z), z e^x z - (1 + z e^x z) ) = (0, 0, -1 )
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:

Passo 5

Agora que temos o rotacional , precisamos escolher uma superfície cuja borda é . Vamos optar pela parte do parabolóide que está dentro do cilindro .

Passo 6

Para calcular a integral de superfície, precisamos do vetor normal à superfície. Como vamos integrar , e nosso rotacional é , o vetor normal será na direção positiva de , ou seja, .

Passo 7

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (0, 0, -1) cdot (0, 0, 1) , dS = integral duplaS (-1) , dS = - integral duplaS dS
Então, precisamos calcular a área da superfície .

Passo 8

A superfície x^2 + y^2 = 2x Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1 é a parte do parabolóide A = pi r^2 = pi (1)^2 = pi dentro do cilindro . Podemos simplificar o cilindro completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em . Usando coordenadas polares deslocadas, a área da superfície é:

Passo 9

Finalmente, a integral de superfície fica:
- integral duplaS dS = - pi

Resposta

-pi

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