Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra usar o Teorema de Stokes pra calcular uma integral de linha sobre uma curva . A curva é a interseção entre um parabolóide e um cilindro . A orientação da curva é no sentido anti-horário quando olhamos de cima. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua borda. A fórmula é:
Aqui, é um campo vetorial, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é dado pela expressão dentro da integral:
A gente precisa calcular o rotacional de , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos o rotacional:

Passo 5

Agora que temos o rotacional , precisamos escolher uma superfície cuja borda é . Vamos optar pela parte do parabolóide que está dentro do cilindro .

Passo 6

Para calcular a integral de superfície, precisamos do vetor normal à superfície. Como vamos integrar , e nosso rotacional é , o vetor normal será na direção positiva de , ou seja, .

Passo 7

Vamos calcular a integral de superfície:
Então, precisamos calcular a área da superfície .

Passo 8

A superfície é a parte do parabolóide dentro do cilindro . Podemos simplificar o cilindro completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em . Usando coordenadas polares deslocadas, a área da superfície é:

Passo 9

Finalmente, a integral de superfície fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(b) Encontre em cada ponto de , de modo que ele aponte para fora.
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a parte do cilindro acima do plano e abaixo do plano com o vetor normal apontando para fora de .
Resp.: .