Calcule integral duplaS rot F cdot d S, em que
F(x, y, z)=lang<=-y, z ln (1+x^2+y^2), e^x^2+y^2 sen^2(x y)rang<=
e S é a superfície z=5-x^2-y^2, com z >= 1, orientada com normal apontando para cima. Resp.: 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S, que é dada por z = 5 - x^2 - y^2 com z >= 1. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente aos Teoremas de Stokes. Vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou rotor, de F, denotado por rot F, mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A integral de superfície do rotacional de F sobre S nos dá a circulação do campo ao redor da borda de S.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de F à integral de linha de F ao longo da curva fechada que delimita S. Matematicamente, isso é:
integral duplaS rot F cdot d S = ointC F cdot dr
Onde C é a curva que forma a borda de S.

Passo 4

Vamos identificar a curva C. A superfície S é o paraboloide z = 5 - x^2 - y^2 para z >= 1. A borda de S ocorre quando z = 1, então:
1 = 5 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 4
Isso descreve um círculo de raio 2 no plano z = 1.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a curva C. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
x = 2 cos theta y = 2 sin theta z = 1
com theta variando de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos calcular F sobre a curva C substituindo as coordenadas parametrizadas:
F(2 cos theta, 2 sin theta, 1) = lang<= -2 sin theta, 1 cdot ln(1 + 4 + 4), e^4 + 4 sin^2(4 cos theta sin theta) rang<=
Simplificando:
F = lang<= -2 sin theta, ln(9), e^8 sin^2(4 cos theta sin theta) rang<=

Passo 7

O diferencial de linha dr na parametrização é:
dr = lang<= -2 sin theta, 2 cos theta, 0 rang<= dtheta

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (-2 sin theta)(-2 sin theta) + ln(9)(2 cos theta) + e^8 sin^2(4 cos theta sin theta) cdot 0 = 4 sin^2 theta + 2 ln(9) cos theta

Passo 9

Integrando de 0 a 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi (4 sin^2 theta + 2 ln(9) cos theta ) dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta dtheta = pi integral0^2pi cos theta dtheta = 0
Então:
ointC F cdot dr = 4 cdot pi + 2 ln(9) cdot 0 = 4pi

Resposta

4 pi

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