Calcule
, em que
e
é a superfície
, com
, orientada com normal apontando para cima. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é dada por
com
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente aos Teoremas de Stokes. Vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou rotor, de
, denotado por
, mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A integral de superfície do rotacional de
sobre
nos dá a circulação do campo ao redor da borda de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
à integral de linha de
ao longo da curva fechada que delimita
. Matematicamente, isso é:
Onde
é a curva que forma a borda de
.
Passo 4
Vamos identificar a curva
. A superfície
é o paraboloide
para
. A borda de
ocorre quando
, então:
Isso descreve um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a curva
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
com
variando de
a
.
Passo 6
Vamos calcular
sobre a curva
substituindo as coordenadas parametrizadas:
Simplificando:
Passo 7
O diferencial de linha
na parametrização é:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 9
Integrando de
a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a parte do cilindro
limitada pelos planos
e
.
(a) Encontre uma parametrização para .
(a) Encontre uma parametrização para
Seja
a parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
, com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para
e utilize-a para calcular a integral
em que
.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a superfície
com
com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: .
Resp.: