Calcule , em que
e é a superfície , com , orientada com normal apontando para cima. Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é dada por com . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente aos Teoremas de Stokes. Vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou rotor, de , denotado por , mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A integral de superfície do rotacional de sobre nos dá a circulação do campo ao redor da borda de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de à integral de linha de ao longo da curva fechada que delimita . Matematicamente, isso é:
Onde é a curva que forma a borda de .

Passo 4

Vamos identificar a curva . A superfície é o paraboloide para . A borda de ocorre quando , então:
Isso descreve um círculo de raio 2 no plano .

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a curva . Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
com variando de a .

Passo 6

Vamos calcular sobre a curva substituindo as coordenadas parametrizadas:
Simplificando:

Passo 7

O diferencial de linha na parametrização é:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 9

Integrando de a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

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Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(a) Encontre uma parametrização para .
Seja a parte do cilindro compreendida entre os planos e , com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para e utilize-a para calcular a integral em que .
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a superfície com com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: .