Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série converge ou diverge usando o Teste de comparação de limite. Para isso, vamos precisar conhecer esse teste e saber escolher uma série comparável que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

O Teste de comparação de limite serve para comparar a série que estamos analisando com outra série conhecida. Se as duas séries tiverem um comportamento semelhante quando tende ao infinito, podemos concluir sobre a convergência ou divergência da série original. Aqui, observamos que no denominador , o termo domina quando é grande. Então, vamos simplificar a expressão ignorando o termo menor .

Passo 3

Vamos comparar a nossa série original com a série . Essa última é uma série do tipo , onde . Sabemos que séries convergem se . Então, é uma série convergente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de comparação de limite:
Simplificando a expressão:

Passo 5

O limite calculado é , que é um número positivo finito. Segundo o Teste de comparação de limite, se o limite é finito e positivo, e a série comparada converge, então a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a) (equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde e são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.