Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty 14 n^2-n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série converge ou diverge usando o Teste de comparação de limite. Para isso, vamos precisar conhecer esse teste e saber escolher uma série comparável que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

O Teste de comparação de limite serve para comparar a série que estamos analisando com outra série conhecida. Se as duas séries tiverem um comportamento semelhante quando tende ao infinito, podemos concluir sobre a convergência ou divergência da série original. Aqui, observamos que no denominador , o termo domina quando é grande. Então, vamos simplificar a expressão ignorando o termo menor .

Passo 3

Vamos comparar a nossa série original com a série . Essa última é uma série do tipo , onde . Sabemos que séries convergem se . Então, é uma série convergente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de comparação de limite:
limn to infty 14n^2-n14n^2 = limn to infty 4n^24n^2-n
Simplificando a expressão:
limn to infty 4n^24n^2-n = limn to infty 44 - 1n = 44 - 0 = 1

Passo 5

O limite calculado é , que é um número positivo finito. Segundo o Teste de comparação de limite, se o limite é finito e positivo, e a série comparada converge, então a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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