Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série
converge ou diverge usando o Teste de comparação de limite. Para isso, vamos precisar conhecer esse teste e saber escolher uma série comparável que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
O Teste de comparação de limite serve para comparar a série que estamos analisando com outra série conhecida. Se as duas séries tiverem um comportamento semelhante quando
tende ao infinito, podemos concluir sobre a convergência ou divergência da série original. Aqui, observamos que no denominador
, o termo
domina quando
é grande. Então, vamos simplificar a expressão ignorando o termo menor
.
Passo 3
Vamos comparar a nossa série original
com a série
. Essa última é uma série do tipo
, onde
. Sabemos que séries
convergem se
. Então,
é uma série convergente.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste de comparação de limite:
Simplificando a expressão:
Passo 5
O limite calculado é
, que é um número positivo finito. Segundo o Teste de comparação de limite, se o limite é finito e positivo, e a série comparada
converge, então a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde
é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde
e
são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.