Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar o teste de comparação para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série e como o teste de comparação funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência, nesse caso, a soma de
para
de 2 até o infinito.
Passo 3
O teste de comparação nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Vamos procurar uma série conhecida para comparar.
Passo 4
Observando
, para valores grandes de
,
é aproximadamente
. Assim, podemos comparar com a série
.
Passo 5
Sabemos que a série
é uma série harmônica p, onde
. Como
, essa série é divergente.
Passo 6
Agora, observamos que
para todo
. Como a série comparada
diverge e os termos da nossa série original são maiores ou iguais, pelo teste de comparação, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(b) Mostre que
© Mostre que não existe escolha da constante