Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, então a gente tem essa série infinita: . A questão quer saber se essa série converge ou diverge usando o teste de comparação de limite. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma série infinita, o que significa convergir ou divergir, e como aplicar o teste de comparação de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. É uma soma que continua indefinidamente, como , onde é o termo geral da série. Nesse caso, .

Passo 3

Agora, vamos entender o teste de comparação de limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando com outra série que a gente já conhece se comporta bem. A ideia é calcular o limite:
Se é um número real positivo e a série é convergente, então a série também é convergente. Se diverge, então também diverge.

Passo 4

A gente precisa escolher uma série que seja semelhante à nossa série original para facilitar a comparação. Olhando para , percebemos que para valores grandes de , o no denominador tem pouco impacto. Então, podemos simplificar para algo parecido com .

Passo 5

Vamos escolher . Essa é uma p-série onde . Sabemos que uma p-série converge se e diverge se . Como , a série diverge.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite :

Passo 7

Como é um número real positivo e a série diverge, pelo teste de comparação de limite, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução .
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução . Assim, perdemos a solução quando dividirmos por .
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)