Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, então a gente tem essa série infinita:
. A questão quer saber se essa série converge ou diverge usando o teste de comparação de limite. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma série infinita, o que significa convergir ou divergir, e como aplicar o teste de comparação de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. É uma soma que continua indefinidamente, como
, onde
é o termo geral da série. Nesse caso,
.
Passo 3
Agora, vamos entender o teste de comparação de limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando com outra série que a gente já conhece se comporta bem. A ideia é calcular o limite:
Se
é um número real positivo e a série
é convergente, então a série
também é convergente. Se
diverge, então
também diverge.
Passo 4
A gente precisa escolher uma série
que seja semelhante à nossa série original para facilitar a comparação. Olhando para
, percebemos que para valores grandes de
, o
no denominador tem pouco impacto. Então, podemos simplificar
para algo parecido com
.
Passo 5
Vamos escolher
. Essa é uma p-série onde
. Sabemos que uma p-série
converge se
e diverge se
. Como
, a série
diverge.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite
:
Passo 7
Como
é um número real positivo e a série
diverge, pelo teste de comparação de limite, a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(b) Mostre que
© Mostre que não existe escolha da constante
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)