Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=2^infty 9raizn+1

Passo 1

Beleza, então a gente tem essa série infinita: . A questão quer saber se essa série converge ou diverge usando o teste de comparação de limite. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma série infinita, o que significa convergir ou divergir, e como aplicar o teste de comparação de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. É uma soma que continua indefinidamente, como , onde é o termo geral da série. Nesse caso, .

Passo 3

Agora, vamos entender o teste de comparação de limite. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando com outra série que a gente já conhece se comporta bem. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty anbn
Se é um número real positivo e a série é convergente, então a série também é convergente. Se diverge, então também diverge.

Passo 4

A gente precisa escolher uma série que seja semelhante à nossa série original para facilitar a comparação. Olhando para , percebemos que para valores grandes de , o no denominador tem pouco impacto. Então, podemos simplificar para algo parecido com .

Passo 5

Vamos escolher . Essa é uma p-série onde . Sabemos que uma p-série converge se e diverge se . Como , a série diverge.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty 9raizn+11raizn = limn to infty 9 cdot raiznraizn + 1 = limn to infty 9 cdot raiznraizn (1 + 1raizn) = limn to infty 91 + 1raizn = 91 + 0 = 9 :

Passo 7

Como é um número real positivo e a série diverge, pelo teste de comparação de limite, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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