(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
d y/d x = (x - 3)(y + 1)^(2/3)
para derivar a solução y = -1 + (x^2 / 6 - x + C)^3.
(b) Mostre que y ≡ -1 satisfaz a equação original d y / d x = (x - 3)(y + 1)^(2 / 3)
© Mostre que não existe escolha da constante C que fará a solução no item (a) gerar a solução y ≡ -1. Assim, perdemos a solução y ≡ -1 quando dividirmos por (y+1)^(2/3).

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Ele envolve uma equação diferencial do tipo separável. A gente vai precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver a equação, verificar soluções específicas e entender o que acontece quando dividimos por certos termos. Vamos por partes!

Passo 2

Item (a): Separar a equação e encontrar a solução.
Primeiro, temos a equação diferencial:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos reorganizar os termos para que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Separando as variáveis:
Queremos isolar e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo só tem e o lado direito só tem .

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.
Agora, vamos calcular essas integrais.

Passo 5

Calculando a integral do lado esquerdo:
Para a integral do lado esquerdo, usamos a regra de potência:
Calculando a integral do lado direito:
A integral do lado direito é mais simples:

Passo 6

Igualando as integrais:
Agora, igualamos as duas integrais (pode-se juntar as constantes de integração, mas vamos considerar uma constante geral ):
Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 3:
Podemos renomear como (já que é apenas uma constante).

Passo 7

Elevando ambos os lados ao cubo para resolver para :
Finalmente, isolamos :

Passo 8

Item (b): Mostrar que satisfaz a equação original.
Queremos verificar se a função constante satisfaz a equação diferencial:
Substituindo :
Simplificando:
Sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero, então a igualdade se mantém:
Portanto, é uma solução da equação original.

Passo 9

Item ©: Mostrar que não existe uma constante que torna na solução do item (a).
A solução geral obtida no item (a) é:
Queremos que , ou seja:
Simplificando:
Para que isso valha para todo , precisamos que:
No entanto, isso implicaria que para todo , o que é impossível, já que isso representaria uma igualação de um polinômio de segundo grau a zero para todos os . Não existe valor de que satisfaça essa condição.
Isso mostra que, ao dividirmos por na separação das variáveis, perdemos a solução .

Resposta

(a) A solução é .
(b) A função satisfaz a equação original.
© Não existe constante que faça a solução do item (a) ser , mostrando que a solução é perdida ao dividir por .

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