(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que
satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante
que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(b) Mostre que
© Mostre que não existe escolha da constante
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Ele envolve uma equação diferencial do tipo separável. A gente vai precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver a equação, verificar soluções específicas e entender o que acontece quando dividimos por certos termos. Vamos por partes!
Passo 2
Item (a): Separar a equação e encontrar a solução.
Primeiro, temos a equação diferencial:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos reorganizar os termos para que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Separando as variáveis:
Queremos isolar
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo só tem
e o lado direito só tem
.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.
Agora, vamos calcular essas integrais.
Passo 5
Calculando a integral do lado esquerdo:
Para a integral do lado esquerdo, usamos a regra de potência:
Calculando a integral do lado direito:
A integral do lado direito é mais simples:
Passo 6
Igualando as integrais:
Agora, igualamos as duas integrais (pode-se juntar as constantes de integração, mas vamos considerar uma constante geral
):
Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 3:
Podemos renomear
como
(já que é apenas uma constante).
Passo 7
Elevando ambos os lados ao cubo para resolver para
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 8
Item (b): Mostrar que
satisfaz a equação original.
Queremos verificar se a função constante
satisfaz a equação diferencial:
Substituindo
:
Simplificando:
Sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero, então a igualdade se mantém:
Portanto,
é uma solução da equação original.
Passo 9
Item ©: Mostrar que não existe uma constante
que torna
na solução do item (a).
A solução geral obtida no item (a) é:
Queremos que
, ou seja:
Simplificando:
Para que isso valha para todo
, precisamos que:
No entanto, isso implicaria que
para todo
, o que é impossível, já que isso representaria uma igualação de um polinômio de segundo grau a zero para todos os
. Não existe valor de
que satisfaça essa condição.
Isso mostra que, ao dividirmos por
na separação das variáveis, perdemos a solução
.
Resposta
(a) A solução é
.
(b) A função
satisfaz a equação original.
© Não existe constante
que faça a solução do item (a) ser
, mostrando que a solução
é perdida ao dividir por
.
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Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
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Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
e determine seu valor máximo.