Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação d v/d x = p_{1-} y^2, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d) (-pi / 2, pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é solução explícita da equação diferencial . A matéria aqui envolve equações diferenciais e intervalos de definição das soluções. Para resolver, vamos precisar integrar a equação diferencial e analisar em qual intervalo essa solução faz sentido, ou seja, onde ela está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial com a função dada. Sabemos que , então substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem, e nosso objetivo é encontrar a função .

Passo 3

Para resolver essa EDO, precisamos integrar ambos os lados em relação a . A equação fica:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá . Agora, vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 4

A integral de pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Assim, a solução geral da EDO é:
Agora, precisamos determinar em qual intervalo essa solução está bem definida. Vamos analisar os termos envolvidos para identificar possíveis restrições.

Passo 7

Observando a função , vemos que ela envolve funções trigonométricas e polinomiais que são, em geral, bem definidas em todo o domínio dos números reais. No entanto, a questão nos dá o intervalo como uma opção. Vamos verificar se esse intervalo é o maior possível onde a solução está bem definida.

Passo 8

As funções seno e cosseno são periódicas e estão definidas para todos os números reais. Além disso, a solução não apresenta nenhuma divisão por zero ou expressão que possa ficar indefinida dentro desse intervalo ou além dele. Portanto, na verdade, a solução está bem definida em todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Resposta

A solução está bem definida para todos os números reais, ou seja, o maior intervalo de definição possível é .

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