Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é solução explícita da equação diferencial
. A matéria aqui envolve equações diferenciais e intervalos de definição das soluções. Para resolver, vamos precisar integrar a equação diferencial e analisar em qual intervalo essa solução faz sentido, ou seja, onde ela está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial com a função dada. Sabemos que
, então substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem, e nosso objetivo é encontrar a função
.
Passo 3
Para resolver essa EDO, precisamos integrar ambos os lados em relação a
. A equação fica:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
. Agora, vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 4
A integral de
pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Assim, a solução geral da EDO é:
Agora, precisamos determinar em qual intervalo essa solução está bem definida. Vamos analisar os termos envolvidos para identificar possíveis restrições.
Passo 7
Observando a função
, vemos que ela envolve funções trigonométricas e polinomiais que são, em geral, bem definidas em todo o domínio dos números reais. No entanto, a questão nos dá o intervalo
como uma opção. Vamos verificar se esse intervalo é o maior possível onde a solução está bem definida.
Passo 8
As funções seno e cosseno são periódicas e estão definidas para todos os números reais. Além disso, a solução
não apresenta nenhuma divisão por zero ou expressão que possa ficar indefinida dentro desse intervalo ou além dele. Portanto, na verdade, a solução está bem definida em todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Resposta
A solução
está bem definida para todos os números reais, ou seja, o maior intervalo de definição possível é
.
Exercícios relacionados
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(b) Mostre que
© Mostre que não existe escolha da constante
Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
e determine seu valor máximo.
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
(a)