Seja
o campo vetorial
.
Utilize o item (b) para calcular
onde
é dada por
.
Utilize o item (b) para calcular
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um campo vetorial
e uma curva
para
variando de
a
. Nosso objetivo é calcular a integral de linha
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Já temos
para
. Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor do campo vetorial
ao longo da curva
. Ou seja, substituímos
e
na expressão de
:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos quebrar a integral em três partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Usando substituição, seja
, então
. Mas precisamos ajustar para
:
Substituindo
:
Segunda Integral:
Usando substituição, seja
, então
:
Terceira Integral:
Aqui, fazemos a substituição
, então
:
Passo 7
Agora, somamos as três integrais:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
a)
Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(a)
Calcule o limite de quocientes indeterminados.
pt.)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
quando
e
.