Seja F o campo vetorial F(x, y)=y^2 i+(2 x y-e^y) j, com(x, y) in R^2.
Utilize o item (b) para calcular integralgamma F cdot d r onde gamma:[0, pi2] R^2 é dada por gamma(t)=(cos (t), sen(t)).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um campo vetorial F(x, y) = y^2 i + (2xy - e^y) j e uma curva gamma(t) = (cos(t), sin(t)) para t variando de 0 a pi2. Nosso objetivo é calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t). Já temos gamma(t) = (cos(t), sin(t)) para t in [0, pi2]. Agora, precisamos calcular a derivada de gamma(t) em relação a t, que é dr/dt.
Calculando a derivada:
drdt = ( ddt cos(t), ddt sin(t) ) = (-sin(t), cos(t))

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor do campo vetorial F ao longo da curva gamma(t). Ou seja, substituímos x = cos(t) e y = sin(t) na expressão de F:
F(gamma(t)) = ( (sin(t))^2, 2 cos(t) sin(t) - e^sin(t) )

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o produto escalar F(gamma(t)) cdot drdt:
F(gamma(t)) cdot drdt = (sin^2(t)) cdot (-sin(t)) + (2 cos(t) sin(t) - e^sin(t)) cdot cos(t)
Simplificando:
= -sin^3(t) + 2 cos^2(t) sin(t) - cos(t) e^sin(t)

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de t = 0 a t = pi2:
integral0^pi2 [ -sin^3(t) + 2 cos^2(t) sin(t) - cos(t) e^sin(t) ] dt
Vamos quebrar a integral em três partes para facilitar:
I = integral0^pi2 -sin^3(t) , dt + integral0^pi2 2 cos^2(t) sin(t) , dt - integral0^pi2 cos(t) e^sin(t) , dt

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
I1 = integral0^pi2 -sin^3(t) , dt
Usando substituição, seja u = cos(t), então du = -sin(t) dt. Mas precisamos ajustar para sin^3(t):
I1 = -integral0^pi2 sin^3(t) , dt = -integral0^pi2 sin(t) (1 - cos^2(t)) , dt
Substituindo u = cos(t):
I1 = -(-integral1^0 (1 - u^2) , du) = -integral0^1 (1 - u^2) , du = -[ u - u^33 ]0^1 = -(1 - 13) = -23
Segunda Integral:
I2 = integral0^pi2 2 cos^2(t) sin(t) , dt
Usando substituição, seja u = cos(t), então du = -sin(t) dt:
I2 = 2 integral0^pi2 cos^2(t) sin(t) , dt = -2 integral1^0 u^2 , du = 2 integral0^1 u^2 , du = 2 [ u^33 ]0^1 = 2 cdot 13 = 23
Terceira Integral:
I3 = -integral0^pi2 cos(t) e^sin(t) , dt
Aqui, fazemos a substituição u = sin(t), então du = cos(t) dt:
I3 = -integral0^1 e^u , du = -[ e^u ]0^1 = -(e - 1) = -e + 1

Passo 7

Agora, somamos as três integrais:
I = I1 + I2 + I3 = (-23) + (23) + (-e + 1) = 0 - e + 1 = 1 - e

Resposta

A integral de linha integralgamma F cdot dr é igual a 1 - e.

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