Seja o campo vetorial .
Utilize o item (b) para calcular onde é dada por .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um campo vetorial e uma curva para variando de a . Nosso objetivo é calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Já temos para . Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é .
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor do campo vetorial ao longo da curva . Ou seja, substituímos e na expressão de :

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos quebrar a integral em três partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Usando substituição, seja , então . Mas precisamos ajustar para :
Substituindo :
Segunda Integral:
Usando substituição, seja , então :
Terceira Integral:
Aqui, fazemos a substituição , então :

Passo 7

Agora, somamos as três integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
Calcule o limite de quocientes indeterminados. pt.)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
quando e .