Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste M de Weierstrass para mostrar que a série converge absoluta e uniformemente em todo o conjunto dos números reais
. Vamos precisar entender o que é o Teste M de Weierstrass e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teste M de Weierstrass? Ele é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série de funções converge uniformemente. A ideia é encontrar uma série de números
que sejam maiores ou iguais aos termos da nossa série original, de forma que se
converge, então nossa série original também converge uniformemente.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série: . O primeiro passo é encontrar uma estimativa para . Sabemos que para qualquer valor de
, então:
Aqui, escolhemos
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série
converge. Essa é uma série geométrica onde a razão
, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com
convergem. Portanto,
converge.
Passo 5
Como encontramos que e que a série
converge, pelo Teste M de Weierstrass, a série original converge absoluta e uniformemente em
.
Resposta
A série converge absolutamente e uniformemente em todo
pelo Teste M de Weierstrass.
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