Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste M de Weierstrass para mostrar que a série converge absoluta e uniformemente em todo o conjunto dos números reais . Vamos precisar entender o que é o Teste M de Weierstrass e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teste M de Weierstrass? Ele é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série de funções converge uniformemente. A ideia é encontrar uma série de números que sejam maiores ou iguais aos termos da nossa série original, de forma que se converge, então nossa série original também converge uniformemente.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série: . O primeiro passo é encontrar uma estimativa para . Sabemos que para qualquer valor de , então:
Aqui, escolhemos .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge. Essa é uma série geométrica onde a razão , que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com convergem. Portanto, converge.

Passo 5

Como encontramos que e que a série converge, pelo Teste M de Weierstrass, a série original converge absoluta e uniformemente em .

Resposta

A série converge absolutamente e uniformemente em todo pelo Teste M de Weierstrass.

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