Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
sumn=0^+infty 2^nn! x^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz até onde os valores de fazem a série “funcionar”, ou seja, onde ela converge para um número finito.
Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste é super útil para determinar onde séries como essa convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge. Se , ela diverge. E se , o teste não dá informação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, an+1an = 2^n+1(n+1)! x^n+12^nn! x^n = 2^n+1 x^n+1 n!2^n x^n (n+1)! = 2 cdot xn+1 . Então, precisamos encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos o limite quando L = limn to infty | 2xn+1 | = limn to infty 2|x|n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Vendo que , que é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Ou seja, não há restrição para .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito. Isso significa que a série converge para qualquer número real .

Exercícios relacionados