Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz até onde os valores de fazem a série “funcionar”, ou seja, onde ela converge para um número finito.
Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste é super útil para determinar onde séries como essa convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge. Se , ela diverge. E se , o teste não dá informação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, . Então, precisamos encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Vendo que , que é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Ou seja, não há restrição para .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito. Isso significa que a série converge para qualquer número real .

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Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em
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Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
.
Dados C = $20 + 0,50 Yd; I = $40; G = $10;Yd = Y - e , determine: os níveis de consumo e poupança