Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz até onde os valores de fazem a série “funcionar”, ou seja, onde ela converge para um número finito.
Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste é super útil para determinar onde séries como essa convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge. Se , ela diverge. E se , o teste não dá informação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, . Então, precisamos encontrar :
Passo 4
Agora, aplicamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Vendo que , que é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Ou seja, não há restrição para .
Resposta
O raio de convergência da série é infinito. Isso significa que a série converge para qualquer número real .