Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o raio de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar onde a série converge, ou seja, para quais valores de a série soma um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma , onde é o centro da série e são os coeficientes. No nosso caso, o centro é .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência (), a gente pode usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar até que ponto a série converge. A regra é:
Se isso for verdadeiro, a série converge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos o limite:
Isso significa que:
Passo 6
A desigualdade nos mostra o intervalo de convergência da série. O raio de convergência é o número que multiplica a variável na desigualdade, que nesse caso é 3.