Calcule o raio de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
sumn=1^+infty (x-2)^n3^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o raio de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar onde a série converge, ou seja, para quais valores de a série soma um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma , onde é o centro da série e são os coeficientes. No nosso caso, o centro é .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência ( limn to infty | an+1an | < 1 ), a gente pode usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar até que ponto a série converge. A regra é:
Se isso for verdadeiro, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
an = (x - 2)^n3^n
Então,
an+1an = (x - 2)^n+1/3^n+1(x - 2)^n/3^n = (x - 2)3

Passo 5

Agora, aplicamos o limite:
| (x - 2)3 | < 1
Isso significa que:
|x - 2| < 3

Passo 6

A desigualdade nos mostra o intervalo de convergência da série. O raio de convergência é o número que multiplica a variável na desigualdade, que nesse caso é 3.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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