Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.

Passo 1

Beleza, você pediu um resumo de todas as técnicas de integração que a gente viu em aula, junto com exemplos. Vamos abordar cada método passo a passo, explicando como funciona e mostrando um exemplo pra deixar tudo mais claro.

Passo 2

Integração por Substituição
Essa técnica é como uma mudança de variável para simplificar a integral. A ideia é identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples.
Exemplo:
Aqui, podemos deixar , então . A integral fica:

Passo 3

Integração por Partes
Baseia-se na fórmula . É útil quando a integral é o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar individualmente.
Exemplo:
Escolhemos e , então e . Aplicando a fórmula:

Passo 4

Integração por Frações Parciais
Usada para integrar funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. A ideia é decompor a fração em somas de frações mais simples que são fáceis de integrar.
Exemplo:
Decompomos em frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Encontrando e , então:

Passo 5

Integração de Funções Trigonométricas
Tem algumas técnicas específicas para integrar funções envolvendo seno, cosseno, tangente, etc. Por exemplo, usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Exemplo:
Usamos a identidade :

Passo 6

Integração de Funções Racionais com Raízes Quadráticas
Quando a integral envolve uma expressão como , técnicas de substituição trigonométrica ou completamento do quadrado podem ser usadas.
Exemplo:
Fazendo a substituição , a integral se simplifica para:

Passo 7

Integração de Funções Racionais Complexas
Às vezes, as integrais envolvem funções mais complicadas que requerem combinações das técnicas acima, como substituição seguida de frações parciais.
Exemplo:
Usamos substituição , então , e a integral fica:

Resposta

Pronto! A gente revisou as principais técnicas de integração: substituição, por partes, frações parciais, integrações trigonométricas, funções com raízes quadráticas e integrações racionais complexas. Cada método tem suas próprias estratégias e exemplos práticos para facilitar a compreensão e aplicação.

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