Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.
Passo 1
Beleza, você pediu um resumo de todas as técnicas de integração que a gente viu em aula, junto com exemplos. Vamos abordar cada método passo a passo, explicando como funciona e mostrando um exemplo pra deixar tudo mais claro.
Passo 2
Integração por Substituição
Essa técnica é como uma mudança de variável para simplificar a integral. A ideia é identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples.
Essa técnica é como uma mudança de variável para simplificar a integral. A ideia é identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples.
Exemplo:
Aqui, podemos deixar
, então
. A integral fica:
Passo 3
Integração por Partes
Baseia-se na fórmula . É útil quando a integral é o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar individualmente.
Baseia-se na fórmula
Exemplo:
Escolhemos
e
, então
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Integração por Frações Parciais
Usada para integrar funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. A ideia é decompor a fração em somas de frações mais simples que são fáceis de integrar.
Usada para integrar funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. A ideia é decompor a fração em somas de frações mais simples que são fáceis de integrar.
Exemplo:
Decompomos em frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Encontrando
e
, então:
Passo 5
Integração de Funções Trigonométricas
Tem algumas técnicas específicas para integrar funções envolvendo seno, cosseno, tangente, etc. Por exemplo, usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Tem algumas técnicas específicas para integrar funções envolvendo seno, cosseno, tangente, etc. Por exemplo, usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Exemplo:
Usamos a identidade
:
Passo 6
Integração de Funções Racionais com Raízes Quadráticas
Quando a integral envolve uma expressão como , técnicas de substituição trigonométrica ou completamento do quadrado podem ser usadas.
Quando a integral envolve uma expressão como
Exemplo:
Fazendo a substituição
, a integral se simplifica para:
Passo 7
Integração de Funções Racionais Complexas
Às vezes, as integrais envolvem funções mais complicadas que requerem combinações das técnicas acima, como substituição seguida de frações parciais.
Às vezes, as integrais envolvem funções mais complicadas que requerem combinações das técnicas acima, como substituição seguida de frações parciais.
Exemplo:
Usamos substituição
, então
, e a integral fica:
Resposta
Pronto! A gente revisou as principais técnicas de integração: substituição, por partes, frações parciais, integrações trigonométricas, funções com raízes quadráticas e integrações racionais complexas. Cada método tem suas próprias estratégias e exemplos práticos para facilitar a compreensão e aplicação.
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Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido Acima do cone
e abaixo da esfera
.
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde
Utilize a substituição
para mostrar que
em que
denota uma constante arbitrária.
Utilize a transformação dada para calcular a integral
, onde
é a região dentro do círculo
com
.