Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde está entre as esferas e e acima do cone .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral tripla de no volume , que está entre duas esferas com raios e , e acima do cone onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para esféricas, entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integração nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função x y z = (rho sin phi cos theta)(rho sin phi sin theta)(rho cos phi) = rho^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi em termos de coordenadas esféricas usando as fórmulas acima:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para cada variável:
varia de 2 a 4 (entre as duas esferas).
varia de 0 a (acima do cone).
varia de 0 a (completando a volta ao redor do eixo z).
Passo 5
Montando a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE x y z , dV = integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^5 sin^3 phi cos theta sin theta cos phi , drho , dphi , dtheta
Passo 6
Vamos observar que a integral envolve integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta . Vamos integrar essa parte primeiro:
integral0^2pi 12 sin 2theta , dtheta = 12 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = 0
Sabemos que , então:
Passo 7
Como a parte da integral que envolve resulta em zero, todo o produto da integral tripla também será zero. Isso acontece por causa da simetria da função em torno dos eixos.