Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE x y z d V, onde E está entre as esferas rho=2 e rho=4 e acima do cone phi=pi3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral tripla de no volume , que está entre duas esferas com raios e , e acima do cone onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para esféricas, entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integração nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi para coordenadas esféricas dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função x y z = (rho sin phi cos theta)(rho sin phi sin theta)(rho cos phi) = rho^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi em termos de coordenadas esféricas usando as fórmulas acima:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • varia de 2 a 4 (entre as duas esferas).
  • varia de 0 a (acima do cone).
  • varia de 0 a (completando a volta ao redor do eixo z).

Passo 5

Montando a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE x y z , dV = integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^3 sin^2 phi cos theta sin theta cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^5 sin^3 phi cos theta sin theta cos phi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos observar que a integral envolve integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta . Vamos integrar essa parte primeiro:
integral0^2pi 12 sin 2theta , dtheta = 12 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = 0
Sabemos que , então:

Passo 7

Como a parte da integral que envolve resulta em zero, todo o produto da integral tripla também será zero. Isso acontece por causa da simetria da função em torno dos eixos.

Resposta

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