Qual a área do triângulo de vértices P, Q e R em que P(5,1,-2), Q=(4,-4,3), R=(2,4,0) ? R: raiz1118 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, a gente vai precisar calcular vetores no espaço, realizar o produto vetorial entre eles e encontrar a magnitude desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores PQ = Q - P = (4-5, -4-1, 3-(-2)) = (-1, -5, 5) e PR = R - P = (2-5, 4-1, 0-(-2)) = (-3, 3, 2) .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Da mesma forma, para :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre PQ times PR = i & j & k -1 & -5 & 5 -3 & 3 & 2 e PQ times PR = i((-5)(2) - (5)(3)) - j((-1)(2) - (5)(-3)) + k((-1)(3) - (-5)(-3)) . O produto vetorial de dois vetores no espaço resulta em um novo vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores originais.
Vamos calcular = i(-10 - 15) - j(-2 + 15) + k(-3 - 15) :
= i(-25) - j(13) + k(-18)
Calculando o determinante:
= (-25, -13, -18)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor resultante do produto vetorial:
|PQ times PR| = raiz(-25)^2 + (-13)^2 + (-18)^2 = raiz625 + 169 + 324 = raiz1118

Passo 5

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores Área = 12 |PQ times PR| = raiz11182 e . Então:
Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados